Mönster

Frågan ”Hur många lampor finns det i klassrummet?” inbjuder inte till lärande medan frågan ”Jag räknade något här i klassrummet och jag såg att det finns 6. Vad kan jag ha räknat?” aktiverar eleverna därför att det finns många olika ”svar”. Eleverna föreslår ”det kan vara lamporna – fyra där och två där” eller ”det kan vara blommorna i fönstren – tre där och tre där” eller ”kritaskarna – fem där och en där” eller ”sex fönster” eller ”sex bokstäver där och inga där” osv. När jag som lärare ”tar tag i” deras förslag ställer jag frågan ”Hur kan man skriva det här på matematikspråket?” I varje klass finns det/bör det finnas elever som föreslår 4+2, 3+3 och 5+1 och 6 och 6+0. De kan det från sina tidigare lekar. Kommer inget sådant förslag från eleverna får jag då som lärare lov att säga hur,  därför att eleverna redan innan jag kommer med ”kunskapen” har fått tänka självständigt. Det sistnämnda förslaget ”sex böcker där och inga där” (6+0) är intressant att jämföra med ”sex fönster” (6) eftersom det på matematikspråket beskrivs olika. ”Finns det fler möjligheter” Hur vet vi att vi hittat alla?” är mina följdfrågor. ”Kan ni se något mönster” När man arbetar matematiskt söker man mönster; vissa mönster kan man generalisera tidigt. Mönstret här blir då:

6     

6+0 

5+1 

4+2 

3+3 

2+4 

1+5 

0+6

Dessa uttryck beskriver olika verkligheter även om mängden/antalet är detsamma. Uttrycken är namn på samma tal, men svarar mot olika verkligheter. Frågan

”Hur vet vi att vi har hittat alla möjligheter?”

kan bara besvaras om man arbetar matematiskt och ser ett mönster (se ovan).

Ibland måste man se talet 6 som 5+1, men ibland som 1+5. Vid beräkning av 5+6 bör man se talet 6 som 5+1 men vid beräkningen av 9+6 bör 6 ses som 1+5. På samma sätt: Vid beräkning av 15-6 måste man se 6 som 5+1 men vid beräkning av 21-6 måste man se 6 som 1+5. Det är så man ”kommer över 10” – det finns inget annat slag av tiotalsövergångar. Algoritmer, växlingar och komihåg överlåter jag helt och hållet till historieläraren. För 2020 och framåt är detta historia!

Att arbeta med matematikens symboler och matematikens språk innebär att man inte låter eleverna räkna på traditionellt sätt i en räknebok. Jag ger aldrig uppgifter som någon elev på något sätt kan räkna på fingrarna – även om de går i årskurs 1. Att det finns elever högt uppe i skolåren som gör det är en ren katastrof! För elevens framtida matematikutveckling och för Sverige! Elever kommer inte till skolan för att göra rätt och den enda anledningen till att man tillåter elever att räkna på fingrarna torde vara att man tror att eleverna kommit till skolan för att göra rätt i stället för att lära sig. Skolan är inte ett ställe dit man kommer för att visa vad man redan kan. Det är ett ställe där man ska lära sig det man inte kan! 

 
Elever behöver utmaningar

Låt oss titta på uppgiften om Kalles kulor:

Kalle har 6 kolor i den ena fickan, 3 kolor i den andra fickan och 1 kola i handen. Hur många kolor har han?

Den skulle kunna vara hämtad ur en traditionell lärobok och syftet tycks vara att hålla eleven sysselsatt under den tid det tar att läsa och att räkna ut hur många kolor Kalle har. Svaret blir antingen rätt eller fel och ett felsvar beror snarare på lässvårigheter än på matematiksvårigheter. Dessutom kan man ana att eleverna utsätts för 15-20 dylika uppgifter under samma lektion! De elever som svarar rätt på dessa kan förstås stärka sitt självförtroende, men jag tror att dessa elever redan har ett starkt sådant. Däremot lär sig dessa elever inget nytt i matematik; de utvecklar ingen ny matematisk kompetens. Man skulle kunna säga att de ”står stilla” (eftersom de inte lär något nytt av uppgiften) vilket egentligen är en tillbakagång.

De elever som på grund av läs- eller språksvårigheter inte klarar uppgiften sänker i stället sitt självförtroende och lär sig kanske ingenting annat än att de inte ”duger”.

Forskning säger sig visa att elever skulle bli bättre i matematik om de hade mindre av ämnet och i stället utvecklade sin läsfärdighet. Att utveckla läsfärdigheten är givetvis en styrka, men absolut ingen förutsättning för att kunna utveckla sin matematiska kompetens. Den som säger så måste ha den traditionella matematiklektionen/läroboken som enda erfarenhet.

Problemet med uppgiften är:

• att svaga läsare inte klarar att läsa texten
• att eleverna strax måste läsa en ny text om en helt annan situation
• att läraren måste springa som en ”skållad råtta” och hjälpa till. Även goda läsare kanske missar att han har kulorna på tre ställen och många elever struntar i att läsa annat än siffror och tal och gissar sen räknesättet, som i det här fallet tydligt är addition.
• att den inte inbjuder till lärande utan är kontrollerande
• att eleven inte behöver tänka särskilt mycket självständigt
• att den endast associeras med ”addera” eller ”plussa”
• att det inte alls är elevens ansvar. Elevens enda fråga blir ”Är det rätt?”
• att den inte inbjuder till en fördjupning och så vidare, men den är lätträttad!

Låt oss titta närmre på den andra uppgiften:

Eva har 10 kolor i sina två fickor. Hur många kan hon ha i varje ficka?

 

Uppgiften ges muntligt efter samtal om godis, så att eleverna ”vet vad det handlar om, känner igen sig/vet”. Den tar en normallång lektion och lässvaga elever har lika stor möjlighet att lyckas. Den inbjuder till kreativitet, ansvar och självständigt tänkande.

Syftet med uppgiften är flerdubbel. Dels handlar den om att dela upp talet 10 på olika sätt, dels om att kunna beskriva dessa händelser på matematikspråket och dels att se och beskriva ett mönster. Den kan också ses dom ”toppen på ett isberg” eftersom den kan bli utgångspunkt för vidare matematik.

När eleverna arbetat med uppgiften vidtar utvärderingen, vilket inte innebär rättning av traditionellt slag.

”Hur många sätt har ni hittat? Har någon hittat fler sätt? Vilka? Finns det fler sätt? Hur vet vi att vi hittat alla?” 

Den sista frågan kan bara besvaras om man arbetar matematiskt  och upptäcker att det inte finns fler möjligheter. 0+10; 1+9, 2+8; ……..10+0, dvs från att ha alla kolorna i den ena fickan till att alla finns i den andra fickan. För den fortsatta matematiken är det oerhört viktigt att eleverna från början lär sig att matematik inte enbart är att räkna utan att förstå matematiken språk. Och att skaffa sig en god taluppfattning! 

”Hur hade det varit om Eva hade haft 11 kolor? 12 kolor? Tre fickor”

De allra yngsta eleverna (skolår 0 eller yngre)

behöver ha 10 kolor att arbeta med. De kanske tar två burkar (som fickor) och lägger 10 kolor på olika sätt. Syftet med aktiviteten är att eleverna ska uppleva att det finns många sätt och att de själva får ta ansvar och tänka självständigt. En del elever kan kanske säga ”det kan vara 5 där och då blir det 5 där”.

De här eleverna behöver träna matematik men utan siffror. Sifferskrivning och matematikböcker hör inte hemma i arbetet med de allra yngsta barnen.

De något äldre eleverna (skolår 1)

kanske också behöver ha kolor, men man kan tänka sig att de ritar fickorna och inser att det finns många sätt. Min uppgift som lärare är att ställa frågan

”Hur tror ni att man skriver detta på matematikspråket?”  

Syftet med aktiviteten är att eleverna ska lära sig att matematik är ett språk som beskriver de händelser och de mönster som de ser. Eleverna kommer med förslag på hur de tror att man skriver det och eftersom frågan innehåller ”tror” är alla svaren rätt! Kanske något elever vet hur det skrivs. Om inte är det min uppgift att visa att man kan skriva det som 5+5 eller som 6+4 eller som 1+9 och så vidare.

Lite äldre elever (skolår 2-9)

startar aktiviteten utan att börja rita. De inser att det finns många olika sätt.  Efter att ha arbetat med 11 resp 12 kulor bör de se ett mönster och svara  på frågan

”Hur många lösningar finns det då om man har 13 kolor? 15? 200?”  ”Hur skriver man det på matematikspråket?”

Om antalet kolor är 10 finns det alltså 11 olika lösningar, underförstått att man har två fickor. Om antalet är n kolor finns det n+1 lösningar. Eleverna ska tidigt, redan i de tidiga skolåren lära sig att generalisera och beskriva de mönster de ser med matematiken språk, dvs algebraiskt.

När man väljer aktiviteter måste man klart och tydligt bestämt sig för vilka mål man har för den speciella undervisningen.   

Bra frågor kan ställas på olika sätt, så länge de är relevanta, involverar eleverna och får dem att ta ansvaret samtidigt som de ska tänka självständigt. Den första uppgiften ovan är enbart kontrollerande. Antingen kan eleven svaret direkt eller efter hjälp.  Uppgiften inbjuder inte till lärande. Den utmanar ingen. Det elever som direkt kan lär inget nytt utan ”står stilla”.