Barn räknar innan de blir elever men många lämnar grundskolan med dåliga matematikkunskaper. När tappar de ”reservhjulet” som de hade med sig till skolan? Analfabeter räknar trots att de aldrig undervisats. Varför är det så? Varför utvecklar de ”ett reservhjul”?

Förskolebarnens och u-landsmänniskornas räkning skiljer sig från skolans (oftast) läroboksstyrda räknande därför att deras räknande utvecklats och utvecklas vid och efter behov och som en logisk följd av egna erfarenheter och kunskaper. Skulle vi kunna undervisa så att just dessa skillnader blev likheter i stället?

När och hur kan ett barn som inte undervisats i matematik räkna och ha behov av att göra det? Före skolstarten har barn delat på karameller och berättat hur många glassar de ätit. Karamellerna delade de praktiskt och det fanns ingen anledning vare sig att skriva ner antalet eller att räkna hur många, bara att jämföra antalet eller storleken. För det behövdes inget matematiskt språk, enbart en matematisk handling. För att visa glassars antal uppfinner barn egna mattespråk. Glassar eller ett streck för varje glass kan ritas, fingrar kan sträckas upp eller pinnar kan läggas fram. Ett barn har hundra språk men berövas de nittionio!

Barn har ofta minst ett fungerande matematiskt språk före skolstarten, för en del är det egna språket också det enda mattespråk de mött. I skolan ”tvingas” många att överge sitt eget mattespråk för tidigt och börja med symbolspråket – siffror och andra matematiska tecken.

Undervisningen måste utgå ifrån det språk barnet redan har och varje barn måste få chansen att ”översätta” sina erfarenheter till skolans mattespråk och vice versa.

Problemlösningsförmågan – kompetensen –  att förstå, välja och använda olika redskap (färdigheter) är en absolut förutsättning för att eleverna ska ha behov av färdighetsträning.

När behöver vi räkna – och hur?

Till vardags hamnar vi ibland i situationer som kräver snabba beräkningar, ungefärliga eller exakta. Andra situationer fordrar noggranna, absolut exakta beräkningar (deklarationer, bankaffärer m m). Situationen och personen avgör alltid beräkningens krav på noggrannhet.

För att vara beredda att möta vardagen bör eleverna utrustas med verktyg/metoder/redskap för olika situationer. Utanför skolan väljer vi redskap utifrån arbetsuppgiftens art. Vi gräver inte upp stora fält med små trädgårdsspadar och vi skjuter inte myggor med kanoner. Det är alltid situationen som avgör vilket redskap vi väljer.

Vilka redskap för matematiska beräkningar får eleverna i skolan? Vilka redskap använder vi – utanför skolan? Vilka redskap behöver våra elever ha med sig för att klara 2050-talets krav?

Eleverna behöver redskap

Eleverna måste bli så förtrogna med olika matematiska redskap att de utifrån situationens krav på beräkning kan välja den mest lämpliga. Därför ter det sig mest naturligt att träning av de olika redskapen och val av redskap bedrivs parallellt med problemlösning (kompetens). Det borde kanske aldrig vara så att färdigheter/redskap tränas som en isolerad företeelse. När tränar man att gräva med spade utan att gräva i något? Det skulle i så fall vara i skolan!

Redskap att välja mellan är

• Överslagsräkning
• Huvudräkning
• Tekniska hjälpmedel (miniräknare, datorer m m)
• Algoritmräkning (numera förpassad till en historielektion i stället för 6-700 lektioner matematik. Eleverna ska lära sig matematik, inte räkning. Det är mer än 70 år sedan det stod räkning i läro/skolplaner.)

Vi bör vara medvetna om att dessa redskap inte är egentliga mål för vår undervisning. Visserligen kan miniräknaren användas men endast om vi vet hur vi ska hantera de tal vi ska använda i beräkningen. En miniräknare löser inga problem, men det är ett alldeles utmärkt redskap för den som har kompetens, dvs för den som kan teckna ner en beräkning.  Sen gör räknaren beräkningen. Trots det kan vi inte utesluta att arbeta med de övriga, i synnerhet inte för att utveckla elevernas taluppfattning. Den är viktig för den fortsatta matematiken. De elever som saknar känsla för tal och mönster kommer sannolikt att få problem i  algebra. Taluppfattningen, känslan för tal, utvecklas av huvudräkning och huvudräkningen utvecklas av taluppfattningen.

Överslagsräkning

I vardagen är överslagsräkning är oftast fullt tillräcklig. Beräkningarna görs i huvudet och de ingående talen rundas av beroende på situation och person. Redskapet är snabbt och effektivt  men fordrar

• God taluppfattning (Vilka tal ska jag räkna med?)
• Rimlighetsuppfattning (Hur ska jag avrunda?)
• Huvudräkningsförmåga

I läroböcker förekommer överslagsräkning oftast enbart som ”avrunda till……” eller ”skriv med 3 gällande siffror”. Vi lärare gör ofta ”jobbet åt dem som är där för att lära sig att göra det”! Med det menar jag att när överslagsräkning verkligen är aktuell i skolans värld, då gör läraren oftast arbetet.

Ponera att klassen ska göra julpynt och använda bl a röda sidenband. Vem räknar ut hur mycket sidenband som behövs? Eller att klassen ska ha julfest. Vem räknar ut hur mycket saft som ska köpas? Eller att klassen ska åka till simhallen. Vem räknar ut hur dags man ska lämna klassrummet? Vems vardag är det?

Vi måste börja se de möjligheter som klassrummets vardag erbjuder. Eleverna behöver se att verkligheten och matematiktimmarna hör ihop. Att det ena – verkligheten –  är utgångspunkten och att skolan är till för att underlätta att förstå och kunna påverka den.

Huvudräkning

Den huvudräkning som här avses skiljer sig från muntlig tabellträning i de olika räknesätten (så som det ofta var förr). Huvudräkning kräver inga hjälpmedel, varför det borde vara naturligast att i första hand överväga val av detta redskap vid varje beräkning. Förmågan att räkna i huvudet kan utvecklas mycket snabbt om det görs medvetet. Medveten huvudräkningsträning beskrivs här ingående  och innebär att varje elev tränar på sin egen nivå; alla kan ”ta nästa steg”. ’

Medveten huvudräkningsträning skiljer sig från sådan huvudräkning som man tror sig träna med Bingo, Plump, kortlekar eller tärningar. Denna form av träning anser jag förlegad. Den svenska grundskolan har högre mål och ambitioner! Elever som redan kan lär sig inget nytt och den som inte kan känner bara nya misslyckanden. Den elev, för vars skull man väljer en ”lek/tävling” ska också ha en chans att lyckas.

Huvudräkning kräver:

• god taluppfattning och god associationsförmåga
• förmåga att se och känna igen olika taltyper, uppfatta talen och delarna av talen och deras inbördes förhållande och kunna tillämpa denna kunskap vid val av redskap och metod (räknelagarna), samt
• kreativitet och flexibilitet (utveckla sina egna tankeformer på fler och nya sätt)

Skriftlig huvudräkning

Under senare år har begreppet ”skriftlig huvudräkning” dykt upp. Det behöver vi inte försöka lära ut, för elever med god taluppfattning utvecklar på egen hand en egen förståelig skriftlig metod när huvudet inte räcker till, när svaret ska vara exakt och de inte har tillgång till en räknare. Mina elever myntade ordet ”mellanmål” för de anteckningar de behövde göra när huvudet inte räckte till. Skriftlig huvudräkning är totalt individuell, behöver inga fasta regler och är helt beroende av barnets egen taluppfattning. Det handlar egentligen bara om att låta eleverna förstå att de kan skriva ner sina tankar, precis så som de lärt sig i kapitlet Sluta räkna. Det måste vara elevens egna tankar som ska skrivas ner, inte lärarens. På tavlan skriver läraren ner elevernas tankar; därigenom får eleverna också en förebild för sin egen eventuella skriftliga huvudräkning (se nedan).

Matematik är ett språk

Redan från början behöver elever förstå att de kan använda matematikens symboler för att göra anteckningar och beskriva olika händelser. I förlängningen kommer de att i algebra behöva beskriva mönster som de ser. Då liksom nu är det deras mönster, inte lärarens, som ska beskrivas. Faktum är att vi alla ser mönster på olika sätt och när dessa ska beskrivas är det viktigt att man kan beskriva det mönster man själv ser. 

Exempel:

SKA ÄNDRAS!!!!!!!

Ovanstående mönster, när det upprepas, kan ses på olika sätt. En del ser det som 6 stickor som sen ökas med 4 i taget. Detta beskrivs då som 6 + 4(n-1). Andra ser det som 2 stickor (de fetmarkerade) som sedan ökas med 4 varje gång. Detta skrivs då som 2+4n. När man förenklar uttrycken blir de desamma, men det är viktigt att man lär sig att beskriva det mönster man själv ser, inte lärarens. Jag har varit med om att studenter fråga vad det är som ska minskas när de varit med om att lärare visat det sistnämnda uttrycket. Jag tolkar det så att dessa studenter varit ”räknare” som missat att matematik (kanske) i första hand är ett språk.  (n-1) beskriver ju alla utom en.

Räkning med räknare

Vi vet väldigt lite om framtiden, men vi kan med stor säkerhet säga att miniräknaren har kommit för att stanna. Exakta beräkningar med flera ingående tal, med stora tal eller med decimaltal görs mestadels maskinellt. Men för att kunna göra detta fordras ändå en stor kompetens. Vi vet ju att många elever inte alltid ”vet” vilket räknesätt de ska använda. Anledningen till detta kan vara att de, beroende på den undervisning de fått, inte upptäckt att det faktiskt finns fyra olika sorters subtraktion (se kap Sluta räkna), dvs fyra olika typer av räknehändelser som leder fram till subtraktion. Det finns två olika slag av additioner, två olika multiplikationer och lika många divisioner.

Genom att reducera det traditionella räknandet i matematikundervisningen får vi mer tid att utveckla elevernas kompetens, eller rättare sagt får eleverna mer tid att utveckla sin kompetens.

Räkning med räknare fordrar

• god taluppfattning
• förmåga att teckna ner räknesättet
• kompetens att lösa problem
• förmåga att göra överslag
• förmåga att avgöra rimlighet (egentligen detsamma som god taluppfattning och kompetens)

Vanligtvis tillåts eleverna först i de senare årskurserna att använda räknare i större utsträckning under matematiklektioner. Varför använder vi inte miniräknaren redan i förskolan? Miniräknaren är ett utomordentligt bra redskap för att utveckla taluppfattningen. (se kap Miniräknaren)

Eftersom räknaren är ett enkelt redskap att använda kan vi använda den för beräkningar när målet är att utveckla kompetensen. Det betyder att en yngre elev kan beräkna hur mycket en karamellpåse kostar om 17 stycken kostar 219,30. Här gäller det ju först och främst att förstå matematikens symboler. Och de fungerar likadant i alla talområden. Men för yngre elever är den framförallt ett redskap för att utveckla taluppfattningen.

Inför framtiden

Det finns all anledning att reflektera över hur vi fortsättningsvis ska bedriva matematikundervisningen i grundskolan. Vi vet ganska säkert vad eleverna inte kan när de lämnar skolan, men nu måste vi göra något åt detta. Vi kan inte nöja oss med att år efter år ta del av skrämmande undersökningar om elevers kunskapsbrister eller om hur dessa ökar eller minskar. Vi måste förhindra att de uppstår.

Det ter sig naturligast att först och främst medvetet träna och bygga upp problemlösningsförmågan, kompetensen, därför att utan förmåga att förstå och kunna lösa problem är alla andra färdigheter värdelösa. Färdighetsträning måste bedrivas i ett sammanhang. Behovet av färdigheten måste vara påtagligt för eleven. Av den anledningen är det oerhört viktigt hur vi ställer våra frågor.

Om vi ska utveckla barnens kompetens och färdighet måste vi bli medvetna om hur vi ställer frågor/ger uppgifter (se kap Sluta räkna). De bör vara sådana att de sätter igång barnens tankeverksamhet i stället för sådana som bara har ett rätt svar. De senare ger signaler om kontroll i stället för lärande. De ger också signaler om att barnen måste komma ihåg eller redan kunna. Och om frågorna inte är ställda rätt känner många elever inget behov av att lära sig. Risken är också stor att vi bedömer de barn som redan kan som duktiga och att vi på sikt tycker att de andra är svaga. Man kan inte vara svag i en skola dit man kommer för att lära sig det man inte kan.

Algoritmräkning

Läroböcker har hittills lagt (alltför) stor vikt vid algoritmräkning på bekostnad (?) av övriga moment och det vore kanske på tiden att vi ifrågasätter algoritmräkningens vara eller icke vara under de första åtta skolåren, därför att eleverna senare ändå inte kommer att använda sig av den särskilt ofta, om ens alls. Om det nu skulle vara nödvändigt med algoritmer tar det kanske en lektion i skolår 9 att lära sig dem, i alla fall om de har utvecklat en god känsla för tal. 

Ska vi inte lära eleverna att räkna i algoritmer? Hur får vi elever som känner sig trygga i algoritmräkning att överge den?  Hur ska vi få elever, föräldrar (och lärare) att förstå att algoritmer i sig inte har med matematik att göra utan att algoritmer i sig bara är administrationsmodeller. Faktum är att det är just dessa administrationsmodeller som ställer till problem i skolmatematiken, därför att eleverna måste komma ihåg (hur man ska göra) i stället för att förstå. Den som förstår behöver inte komma ihåg!

Om elever tror att de ska komma ihåg en massa fakta kommer deras huvuden snart att bli så fulla att de inte kan lagra mer. Jag har under mina år som lärare mött många elever som just av den anledningen ”lagt av” under det så kallade mellanstadiet, särskilt när divisionsalgoritmen presenterades. Den har på något sätt blivit för mycket att komma ihåg. Och egentligen har ju divisionsalgoritmen väldigt lite med begreppet division att göra.

Under senare år har jag haft förmånen att få arbeta med elever i de tidigaste skolåren och jag har fascinerats av att många elever ­ ­– tidigt i åk 1 har en klar uppfattning av begreppet division. Visserligen har de varken känt till benämningar som täljare eller nämnare, men de har klart kunnat tala om att om man har t ex 678 respektive 4678 saker och måste dela dem med 28 andra personer så har den som hade flest från början flest också efter delningen. Det är inte ovanligt att elever i skolår 6 – vid frågan om vilken division, exempelvis 678/29 och 4678/29, som ”får störst svar” – frågar om de måste ställa upp det eller om de får använda miniräknare. När och varför försvann deras naturliga instinkt? Jo, på samma gång som vi försökte få dem att tro att en division är detsamma som en algoritm, som de ändå inte förstår?

Den egna tankeformen är grunden

När elever lär sig att addera och subtrahera sker det vanligtvis först i talområdet 0-5 sen i talområdet  0-9.  Beräkningarna utgår från konkret material och siffror är inte ens nödvändiga. Redan här är det möjligt att introducera positionssystemet om det görs på ett sätt som får eleverna att själva ”komma på det”. (se Kap Sluta räkna)

Eleverna blir så småningom förtrogna med sifferskrivningens svåra konst, förväntas kunna ”tala” med siffror och tänka mer abstrakt. Talområdet utökas upp till 10 och så småningom över 10 och den tidigare kunskapen om positionssystemet  blir grunden för ”ickeräkning”. De tankeformer som eleverna utvecklar under den första undervisningen bygger i första hand på deras tidigare erfarenheter, men de ligger också till grund för hela deras fortsatta utveckling i matematiken.

 Den medvetne huvudräknaren

*      ”läser” alltid  termerna som tal och inte som ett antal                                                  siffror, och

*      får därmed en direkt uppfattning om svarets storlek,

*      granskar samtidigt siffrorna i de olika  positionerna,                                                    

• tar samtidigt ställning till vilken strategi (se nedan) som är                                       tillämplig                                       
• reflekterar därvid över vilken tankeform som passar bäst i den aktuella  beräkningen.