Första mötet med positionssystemet

Mål. Att förstå vårt positionssystem

Material:

Snäckor i olika storlekar (eller stenar)

Kottar /nötter/kastanjer/knappar) och träpinnar (från skogen)

Miniräknare.

Att förstå positionssystemet är en förutsättning för en god taluppfattning. Traditionell undervisning tycks visa att det är viktigt att känna till termer som ental, tiotal och hundratal. Givetvis är det på sikt viktigt men inte nödvändigt. Jag har mött äldre elever som i stället för att benämna ett tresiffrigt tal som just tresiffrigt säger att det är ett hundratal, liksom ett tvåsiffrigt kallas tiotal. Dessa elever är inte alltid medvetna om att det finns tiotal i ett tresiffrigt tal.

Miniräknare används här enbart för att skriva tal. Det tar alltid lång tid för, i synnerhet flickor, att skriva när det finns ett suddgummi att tillgå.Om du har tillgång till en OH-apparat kan du skatta dig lycklig, den är ovärderlig i matteundervisning!

Här kommer storyn som du berättar för eleverna:

”Jag ska berätta för er om ett land för länge sedan. Det är så länge sedan så det fanns inga datorer! Det fanns inga miniräknare, men det ska ni få nu! Det fanns inte ens papper och penna! Men det fanns barn och ni vet ju hur barn är, de vill ibland veta vem som har flest eller hur många de har. I det här landet bodde alla vid havet och alla vuxna fiskade. Det gjorde barnen också, för det är så länge sedan så det fanns ingen skola. När barnen skulle visa hur många fiskar de hade fått brukade de lägga snäckor (eller stenar) så här. (Lägg ex 3+2 små snäckor eller stenar).

• 

Hur många fiskar tror ni det här betyder? Hur ser ni att det är 5? Hur skulle 5 kunna ligga på något annat sätt och ni skulle kunna se 5? De här barnen fiskade och fiskade och plötsligt en dag låg det jättemånga (lägg ett tjugotal snäckor) snäckor och ingen kunde se hur många där låg, utan att räkna. Och de var lika lata som jag; de hade ingen lust att räkna. De ville se! De kom på något fiffigt; de la snäckor eller stenar så här. (lägg tre stora och fyra små). När det låg så här sa de att de hade fått 34 fiskar! Så skrev de 34. Hur skriver vi 34 på miniräknaren?

• 

• 

Låt eleverna – utan instruktioner – försöka skriva 34 på räknaren! Jag börjar alltid med 34 eftersom 11 – 19 inte är lika logiska och 20 – 29 inte ”låter” som om de hör ihop med 2. Höga tal är dessutom mycket intressantare än låga – för unga elever.

”Vad är det som är lika med vårt sätt att skriva 34 och deras?”

Observera att i det här läget med så unga elever finns det ingen anledning att tala om tiotal eller ental, såvida det inte kommer från eleverna! Det räcker att vi nämner orden när de senare behöver dem!

Lägg olika tvåsiffriga tal med snäckor och låt eleverna skriva talen på räknaren. I det här fallet är det matematiken som är viktig och inte sifferskrivandet.

Efter den här gemensamma övningen fortsätter eleverna parvis med att lägga snäckor och skriva talen på räknaren och vice versa, dvs skriva ett tal och sedan lägga det. De elever som ”gör fel” ska inte direkt rättas. De förstår inte vad som är fel förrän de själva lär sig!

Man kan fortsätta med ytterligare en storlek snäckor. De allra flesta av eleverna klarar även av tresiffriga tal.

234 som ” snäck-tal”

• 

Eftersom jag inte tycker om pengar som undervisningsmaterial har jag har valt att arbeta med snäckor när jag först presenterar positionssystemet. Anledningen till att jag inte tycker om pengar är att de inte ”uppför sig” som talsystemet i övrigt! Om man t ex har 23 kronor och ska betala 16 kronor, så lämnar man fram de 20 och har 4+3 kronor kvar. Om man däremot har ett 23 meter långt rep och ska klippa bort 16 meter, måste man utgå ifrån de 23.

Men snäckor är på ett sätt lika dåliga som pengar eftersom de kan ligga hur som helst och ändå motsvara ett tal. Elever som ska lära sig matematikens strukturer bör inte någon gång få för sig att siffror i ett tal kan stå ”hur som helst”. Med det menar jag att såväl pengar som snäckor kan ligga ”huller om buller”. Fördelen med snäckor framför pengar är också den att med pengar tror elever att de håller på att lära sig räkna med pengar. Här lär vi oss talsystemet! Jag tror inte att elever tror att de behöver lära sig att räkna med snäckor. En fördel framför pengar har snäckorna därför att de ökar i storlek, pengar ökar i värde, något som små elever har svårare att förstå än storlek.

Syftet med snäckorna är att eleverna ska börja titta på siffrorna i talen; de ska se de olika talenheterna.

Snäckor har sina fördelar men också nackdelar. Arbeta med dem några gånger. Du kan använda dem på så sätt att du lägger t ex 45 och säger:

”Två elever hade tillsammans fått så här många. Hur många kan de ha fått var?”

Eleverna kommer att föreslå ex ”23 och 22” eller ”21 och 24”.

”Finns det fler sätt?” ”Vad händer om den ena fått 6?”

Naturligtvis kommer eleverna att föreslå 39 och därmed har de själva uppfunnit en naturlig 10-talsövergång. Den numera avskaffade (!) algoritmräkningen var ologisk på så vis att när man växlade, ”plockade” man in allt mellan 10 och 18 i en position där man inte kan/ska ha mer än 9! Hela den logiska strukturen i positionssystemet bygger på att man bara har 9 i varje position. Japanernas abacus – Soroban – är logiskt uppbygd; hur gärna man än vill kan man inte få in fler än just 9 i en position.

Arbeta på samma sätt med andra ”tiotalsövergångar”! Låt eleverna berätta hur se tänker; först för varandra och sedan ”gruppvis” för dig. Det är alltid elevernas egen tankegång som ska (vidare)-utvecklas och det sker i språket. Elevers matematik utvecklas inte för att en vuxen (eller en bok) talar om hur ”man” ska tänka.

När eleverna arbetat med snäckor som ”positionssystem” ett tag kan de se såväl additioner som subtraktioner och divisioner utan att räkna. Se så tillvida att de genom att titta på dem i varje position, talenhet, kan avgöra hur det ser ut när det tillkommit snäckor – eller försvinner. Ponera att jag lagt 24 med snäckor och säger att …

”De får 31 fiskar till i morgon. Kan man se hur många de har fått då?” eller ”Någon som hade fått 54 fiskar sålde 23. Hur kan man se hur många som var kvar?” eller ”Sven hade fått 42 fiskar som han delade med sin bror. Hur kan man se hur många de fick var?”

De här övningarna innebär inte att eleverna behöver tala om räknesätten. Däremot kan man säga

”Hur ska vi skriva, på matematikspråket att ………?”

Det ”räcker” med att några elever, de som redan ”kan allt om 5” kan skriva det. Det är däremot viktigt att de andra ser, får vara med om det! Detta för att de börjar tänka och en del elever lär sig nu själva! Före skolstarten lärde de sig själva!

När jag som lärare arbetar med positionssystemet (eller något annat moment) måste jag mycket tydligt ha gjort klart för mig VAD det är som eleverna ska lära sig när de lär sig positionssystemet. I vilka senare sammanhang kommer eleverna att behöva kunskapen och vilken kunskap är det egentligen de behöver?

Snäckor är, precis som pengar, inget bra positionssystem eftersom de i princip kan ligga i vilken ordning som helst. Däremot är de bra därför att di tittar på siffrorna i talen; de läser dem inte för att göra något med dem!

Därför fortsätter jag med Ett riktigt positionssystem!https://www.om-matematik.se/ett-riktigt-positionssystem/