Dividera i huvudet
Antagligen finns det ingen arbetsgivare som har behov av eller råd att ha en arbetstagare som ödslar tid på att dividera med hjälp av algoritm. Räknemaskiner finns alltid tillgängliga på de arbetsplatser där beräkningar måste göras, men bakom varje knappval behövs en person som inte bara ska kunna välja rätt knapp utan också måste kunna värdera beräkningens rimlighet. För detta fordras goda kunskaper i överslags- och huvudräkning.
För att eleverna ska bli goda huvudräknare är det en fördel om de upptäcker och blir medvetna om vissa delbarhetsregler. Om uträkningen sedan görs direkt i huvudet eller som kort division – med ett direkt svar på pappret – är egentligen ointressant så länge metoden ger önskat svar.
Divisionsalgoritmerna har förändrats flera gånger de senaste decennierna och lärare har måst undervisa såväl elever som föräldrar. Många tror att divisionen förändrats, men den enda förändringen är bokföringen av sifferadministrationen. Om förändringarna varit förbättringar, eller ens nödvändiga, överlåts åt läsaren att fundera över.
Divisiontabeller, dvs multiplikationstabellen baklänges, är ett tämligen nytt begrepp. Division med ensiffrig nämnare har ansetts vara en nödvändig kunskap på mellanstadiet, medan division som begrepp räknats som en nödvändig kunskap redan från lågstadiet. För eleverna var division, även med rest, en färdighet som många hade med sig när de kom till skolan. Erfarenheten har lärt mig att barnen har begreppet klart för sig från början, men efter att ha undervisats om alla siffermanipulationer som de ska komma ihåg och som de oftast inte kan förstå, har inte bara divisionskunskaperna svalnat utan samtidigt också intresset för matematik. Detta har ofta inträffat i åk 5.
”Tala bara om för mig hur jag ska göra”
…är tyvärr är en vanlig kommentar, en vanlig begäran, i skolan. Många lärare tycks tro/har fåtts att tro att deras uppgift i skolan är att hjälpa eleverna att (kunna) göra saker. Detta är en missuppfattning med lång tradition. Lärarens uppgift är i stället att få eleven att ta sitt nästa steg. Att vara kvar på samma ställe, dvs att göra det man redan kan innebär ju i stället att eleven står stilla och jag tror att läsaren håller med mig om ”att allt stillastående är en tillbakagång” – åtminstone när det gäller lärande.
Förberedande divisionsövningar
Innan arbetet med strategier i division bör man arbeta medvetet med begreppet. Detta kan givetvis göras på många olika sätt. Nedan beskrivs ett fungerande sätt.
Välj några tal, ex 3447, 864 och 903. Låt eleverna rangordna talen från minst till störst och tala om hur de vet att det är så. Naturligtvis vet de, men lärandet blir medvetet när eleverna måste formulera sina kunskaper i ord. Bakom deras språk ligger tankar – som de måste bli medvetna om att de har.
Eleverna kan därefter skriva tre andra tal i storleksordning. Låt talen beskriva ett antal av någonting – t ex kulor som tre personer har.
”Vem kommer att ha flest om alla får dubbelt så många?” (Det finns elever som tror att man måste räkna. Eleverna måste inse att man kan SE och förstå mycket om man får chansen att reflektera.)
”Alla delar med sig till 7 kompisar – hur kan man veta vem som har flest sen?”
Efter att ha arbetat med liknande exempel kan man genom att låta eleverna se exempel av typen 675/3, 877/8 och 701/9 diskutera frågeställningar av typen ”vilken division får den största kvoten?”, ”vilken division blir mindre än 100?”, ”vilket svar blir mer än 200?” och ”vilken division skulle ha nämnaren 7 för att bli nästan precis 100?”
Många kanske tycker att det är djärvt att starta med så stora tal och att det kanske är bättre att starta med tal som 12, 16 och 24. Jag har dock lärt mig att elever gillar utmaningar och att man låter dem möta tal som inte är så ”präktiga”. Tankemönstret är ju i och för sig exakt detsamma, men reflektionerna blir mer djupgående hos eleverna om de behandlas som ”proffs” och inte som småungar.
Det finns otaliga möjligheter att skapa liknande övningar.
Strategier i division
Strategierna för division hänger intimt samman med delbarhetsreglerna. För en mellanstadieelev är det ofta lättare att bli medveten om delbarhetsreglerna än att förstå algoritmen. De strategier som elever på mellanstadiet som regel kan klara är:
* jämnt delbart med 2
-alla siffror jämna
-enbart slutsiffran jämn
* jämnt delbart med 4
* jämnt delbart med 3
-och därmed med 6
* jämnt delbart med 5
* andra delbarhetsregler, det finns delbarhetsregler för alla tal under 100
Eleverna bör också upptäcka att det är enkelt att utföra vissa divisioner i huvudet även när svaret inte ”går jämnt upp”. De bör kunna:
* dividera med 2
* dividera med 5
* dividera med 25
* dela flera gånger
När elever blivit medvetna om hur siffrorna i ett tal avgör huruvida talet kan divideras jämnt med ett annat eller inte, utför de lätt divisionen som kort division.
Här följer några exempel på elevtankar: (Eleverna måste uppmärksammas på att de redan vid genomläsningen av talen kan se att divisionen går jämnt ut.)
468/2
200+30+4 delar det största först
230+4 ser 468 som 460 + 8 och delar det stora först
234 ser genast hälften
8/2=4; 6/2=3; 4/2=2 ???? kan inte säga svaret. Kan skriva det men har ingen uppfattning om det är rimligt
225+9 tar ett nära tal, 450, delar och behandlar sedan de 18 som är kvar
250 – halva 32 tar nästa hundratal, känner 100-kompisen och drar ifrån hälften
Mycket snabbt uppfattar eleverna att ”heljämna” tal lätt divideras med 2. Under arbetet med tankeformerna uppstår mycket snabbt förmågan att dividera andra jämna tal med 2.
Elevernas tankeformer:
538/2
250+15+4 halverar alla talenheterna
200+70-1 ser talet som 400+140-2
200+65+4 har kunskaper om kort division, men räknar i huvudet
260+9 ”känner” hälften av 52, tio ggr större +9
Kort division innebär att varje talenhet behandlas enskilt, precis som i den traditionella algoritmen, men under räknandet känner man hela tiden av talets storlek och kvoten utläses direkt som ett tal. Jämför algoritmräkning där den omständliga administrationen inte ger någon uppfattning om kvotens storlek förrän den är utskriven och då upplever många elever inte behov av att värdera rimligheten.
Söka efter strategi
Det är möjligt att öka elevernas kompetens för kort division/huvudräkning genom att låta dem ta ställning till vilka tal, bland flera, som kan divideras jämnt med 2, 3, 4, 5, 6 osv. Ganska många elever kan lätt ta till sig även andra delbarhetsregler.
I rutorna finns tal som eleverna kan arbeta med på olika sätt.
* vilka tal kan divideras jämnt med 2,3,5 osv
* vilka tal kan divideras med både 3 och 2?
* vilka tal kan du dela jämnt om du lägger till eller drar ifrån 1 eller 2?
Övningar för att stärka elevers taluppfattning och förståelse för division.
Vilket av talen är högst? Hur vet man det?(Låt eleverna diskutera i grupp. Ta fler liknande exempel med flersiffriga tal).
När eleverna diskuterat i grupp tar du upp deras tankar och svar; det är alltid eleverna som ska säga det viktiga i ett klassrum – för att du kan det!
46 ………………………………87 ………………………………..35
Vilket uttryck får högst svar? Hur vet man det?(Låt eleverna diskutera i grupp).
46/5……………………………..87/5…………………………….35/5
Vilket uttryck får högst svar? Hur vet man det?(Låt eleverna diskutera i grupp).
46/9…………………………87/9………………………….35/9
Nu kan du gå vidare med att ta högre tal och ändra nämnarna efter hand.
Vilket uttryck får högst svar? Hur vet man det? (Låt eleverna diskutera i grupp).
67/3………………………….67/4………………………..67/5
Nu kan du gå vidare med ännu högre tal och ändra täljarna och nämnarna efter hand.
Vilken division går jämnt ut?(Låt eleverna diskutera i grupp. Om alltför många elever inte ”kan” jämna och udda tal bör du göra en övning som får dem att inse dem. Skriv 5 uttryck som inte går jämnt ut! Skriv 5 uttryck som går jämnt ut!(Låt eleverna diskutera i grupp).
66/2………………………..235/2……………………………548/2
Skriv så stora tal du kan som kan delas jämnt med 2!
Skriv ännu större tal som inte kan delas jämnt med 2. (Låt eleverna diskutera i grupp).
Vissa elever, de som redan kan och förstår ”allt” kan också skriva egna divisioner och ange svaren till dem, även de som inte går jämnt upp. Låt sedan dessa redovisa sitt arbete och låt ev de andra i grupp diskutera hur man gjort.
Vilka av uttrycken går jämnt upp? (Låt eleverna diskutera i grupp).
24/6………………….31/7…………………25/4……………………27/9
Skriv nämnare så att divisionerna gå jämnt upp! Kan det finnas andra nämnare?(Låt eleverna diskutera i grupp).
32/ ………………………42/……………………….56/………………..….63 /
Skriv nämnare så att divisionerna inte går jämnt upp!(Låt eleverna diskutera i grupp).
32/…………………..42/……………………….56/……………………..64/
Vilka nämnare kan man skriva för att det ska bli ett i rest; alltså en över. Kan man skriva flera olika?(Låt eleverna diskutera i grupp).
92/…………………….11/……………………….7/………………………….34/
Vilka täljare kan man skriva för att divisionen ska ge 1 i rest? 2 i rest? (Låt eleverna diskutera i grupp).
/8………………………. / 3…………………….. / 5………………….. / 6
Vilka av följande uttryck ger ett svar som är högre än 10?(Låt eleverna diskutera i grupp)
45/7………………….98/9…………………..56/6……………….40/11
Skriv nämnare så att svaret kommer att vara högre än 10. Kan du skriva andra nämnare?(Låt eleverna diskutera i grupp).
344/………………….534/……………………766/………………………407/
Skriv nämnare så att svaret kommer att vara mindre än 10. Kan du skriva flera?(Låt eleverna diskutera i grupp).
371/……………………567/……………………..98/……………………777/
Skriv täljare så att svaret kommer att vara exakt 10.(Låt eleverna diskutera i grupp).
450/…………………700/…………………6860/………………….46690
Skriv täljare så att svaret kommer att vara högre än 10. (Låt eleverna diskutera i grupp).
/5 ……………………/24 ………………………/75 …………………./ 1000