Praktik

Multiplicera i huvudet

Det hände att multiplikationsalgoritmen introducerades medan eleverna ännu höll på att tillägna sig tabellkunskaper. Enligt PUMP – på 70-talet startar algoritmräkningen med exempel av typen 3 x 21 därför att elevernas arbetsminne inte ska belastas med de svårare tabellkombinationerna under den tid då arbetsminnet upptas av administrationsformerna (=i vilken ordning siffrorna ska bearbetas och var de ska skrivas)! Det skulle naturligtvis kunna vara en godtagbar regel om multiplikationsalgoritmen var så värdefull att eleverna absolut behövde den och så fort som möjligt. Men när behöver eleverna den utanför skolan? Och är en algoritm verkligen matematik?

Vid algoritmräkning gjordes under administrationens gång enkla beräkningar som i sig inte har något med den faktiska beräkningen att göra. Taluppfattningen utvecklades inte. Uppfattning om svarets storlek och rimlighet erhölls inte under beräknandet. Konsekvensen av detta blev att eleverna vid multiplikation kom att vara tvungna att lita mer på administrationens förträfflighet än till sina egna kunskaper om tal.

Även multiplikationer som vid första påseendet kan tyckas vara besvärliga att utföra i huvudet faller i stor utsträckning under de strategier som redovisas nedan. Eleverna kan göras uppmärksamma och bli medvetna huvudräknare även i multiplikation.

I detta sammanhang kan jag inte låta bli att nämna en händelse från en fjärdeklass en tidig hösttermin:

En lärarstuderande hade låtit barnen arbeta med räknehändelser i multiplikation. Eleverna hade sedan på laborativ väg kommit fram till multiplikationsmönster av olika slag. Innan de skulle börja träna multiplikationtabellerna (de hade på lågstadiet enbart tränat tabellerna upp till 5 x 10), fick de i uppgift att formulera räknehändelser som kamraterna sedan skulle räkna ut. Eleverna skulle också göra facit till sina uppgifter.

En pojke författade en räknehändelse som gav upphov till uträkningen 26 x 6. Eftersom jag anade att pojken inte skulle kunna göra beräkningen med algoritm, beslöt jag mig för att stanna hos honom för att se vad som skulle hända.

Det var fantastiskt att få vara med och se och höra hur han gjorde. Han hade nämligen sitt reservhjul kvar! (Jag skulle kunna tänka mig att han veckan därpå inte skulle klarat av uträkningen, därför att det då skulle förväntas av honom att han dels skulle kunna räkna 6 * 6 och dels att han skulle behärska algoritmadministrationen.) Nu bokförde han i stället sina operationer på följande sätt:

IIII 24

IIII 24

IIII 24

IIII 24

IIII 24

IIII 24

II 12

26 156

Han visste att 4 x 6 = 24. Varje gång han skrev 24 gjorde han fyra streck för att kunna hålla reda på hur många gånger han multiplicerat med 6. Han höll noga koll på summan av strecken. När han gjort 24 streck visste han att det skulle vara 2 streck till, och 2 x 6 kunde han också. Sedan adderade han och fick svaret till 156. Fantastiskt! Måtte han få behålla reservhjulet! Det här är en annan form av huvudräkning; en form som den här eleven förstod.

Innan arbetet med multiplikationsstrategien börjar bör eleverna ha goda tabellkunskaper. De bör också kunna multiplicera med 10, 100 osv, vilket inte är problem för elever, vars taluppfattning kontinuerligt tränats, dvs som även har förståelse för positionssystemet. Som en följd av detta bör eleverna kunna utföra multiplikationer av typen 4 x 300; 6 x 30.

Strategier i multiplikation:

* ”lite mer än”

* ”lite mindre än”

* ”hälften / dubbelt”

* ”hela / delen”

* ”bra ihop”

Strategin ”lite mer än”

6 x 21; 7 x 62; 9 x 41; 80 x 72; 63 x 70

Eleverna ges ett exempel, t ex 3 x 21. Eleverna reflekterar individuellt över hur de tänker när de gör beräkningen. Tankeformerna antecknas efter hand på tavlan, så att eleverna blir medvetna om att det även här kan finnas många olika tankeformer. Eleverna bör möta liknande exempel vid några tillfällen, för att de ska kunna koppla samman sina tankeformer med strategin. Så här tänkte elever i åk fyra:

3 x 21

21+21+21 (upprepad addition)

60+3 (multiplicerar först med 20)

3 och så 6 (ställer upp i huvudet, säger inte svaret)

42+21 (dubblar först,adderar sen)

3 mer än 60 (ser att det blir mer än 60, och

bestämmer först hur mycket mer)

Den enda tankeform som inte ledde fram till rätt svar är ”uppställningen i huvudet”, därför att eleven inte visste i vilken ordning de tal (här var det tal) han fått fram ska sägas.

Under arbetet med fler exempel ( 8 x 71; 4 x 92; 5 x 33) kommer ”additionseleverna” att överge sin tankeform. I detta läge är det lämpligt att kalla strategin ”lite mer än”, då eleverna – efter att ha sett dels på talen och dels på de ingående siffrorna säger ”det är 8 mer än 560”. Arbetet fortsätter med att eleverna skriver egna exempel av samma typ. . Därefter söker de strategin i en ”straregi-ruta”, på samma sätt som beskrivits ovan.

I multiplikation finns det många ”knep” som man kan lära sig. Ett av dem är det s k 11-knepet, som innebär ett smart sätt multiplicera med 11. Problemet med ”knep” är att man ska komma ihåg hur man ska göra och det är just alla komihågen som gör matematiken så ångestfull för en del elever. ”Lite mer än”- säkra elever brukar inte bli särskilt fascinerade av knepet, eftersom deras kunskaper om ”lite mer än” fungerar i fler fall och bygger på förståelse.

Strategin ”lite mindre än”

3 x 29; 6 x 59; 8 x 38; 70 x 89;

Eleverna funderar över hur de tänker när de räknar ut exempel som 3 x 19; 4 x 69; 7 x 69. Elever som tagit till sig strategin ”lite mer än” kommer nästan genast att upptäcka likheter och skillnader. Samtliga elever i den fjärdeklass, vars tankeformer redovisats tänkte direkt: 3 mindre än 60; 4 mindre än 280 och 7 mindre än 490.

Elevtankar i en fyra:

6 x 59

108 x 3 dubblar 59, ser fördelen med 108

6 mindre än 360 hyfsar 59 till 60, uppmärksammar subtraktionen först

6×9=54; 6×5=30 försöker ”ställa upp”, kan inte säga svaret

mer än 300 grovt överslag

54 mer än 300 använder ”lite mer än”- strategin

När elever kommit så här långt i huvudräkning brukar eventuell ovilja mot huvudräkning vara som bortblåst. Självförtroendet har ökat och därmed också säkerheten. Och intresset!

Arbetet fortsätter med att eleverna söker i en strategi-ruta och konstruerar egna exempel.

Vid algoritmberäkning av t ex 7 x 89 blir svaret inte sällan fel, därför att eleven först måste multiplicera 7 med 9 och skriva rätt minnessiffra, därefter multiplicera 7 med 8 (svårt) och komma ihåg att lägga till minnessiffran. Vanliga felsvar kan vara 596; 563 och 603. Alla svaren ligger dessutom inom vad som skulle kunna vara rimligt. Det är inte ovanligt att svaren blir orimliga: 5663 eller 5463. Fundera över hur dessa felsvar uppstått.

Strategin ”hälften / dubbelt”

8 x 25; 5 x 64; 15 x 26; 12 x 45; 3,5 x 18;

Eleverna klarar sig länge med de båda först nämnda strategierna. Flera av exemplen ovan kan appliceras på de tidigare nämnda strategierna. (40 mer än 160 eller 40 mindre än 240; 20 mer än 300 osv).

Elevtankar åk 4:

12 x 45

90 mer än 450 använder strategin ”lite mer än”

6 x 90 halverar/dubblerar

450 + 90 multiplicerar med 10, lägger till 90

2×5=10;2×4=8 ?????????? klarar inte

1×5=5;1×4=4 ???????? försöker ställa upp i huvudet

Strategin ”bra ihop”

När flera faktorer ska multipliceras samman har eleverna glädje av att känna till strategin.

2 x 7 x 5; 8 x 7 x 5; 6 x 9 x 5; 0,25 x 134 x 2 x 2

Beräkningen utförs först sedan man tagit ställning till i vilken ordning faktorerna enklast behandlas.

Elevtankar åk 4:

2 x 7 x 5

14×5= 7×10 tar faktorerna i ordning, halverar/dubblerar sen

10×7 ser att 2×5 = 10

35×2 det största först, dubblerar lätt

Det väsentligaste är inte att eleven genast känner igen en strategi, utan att var och en blir medveten om och vågar använda sina fungerande tankeformer, samtidigt som de också alltid får ta del av hur andra tänker, så att var och en kan byta upp sig till bättre fungerande tankeformer. Mest väsentligt är dock att varje elev blir medveten om att och hur han själv tänker.

Strategin ”hela och delen”

”Lite mer än”-, ”lite mindre än”- och ”hälften/dubbelt- strategin”, fungerar alla för följande exempel, men för en del av elever är det intressant att ytterligare förfina sin huvudräkning.

26 x 15; 35 x 60; 150 x 46

Elevtankar åk 4:

26×15

260+130 multiplicerar med 10, lägger till hälften

13×30 halverar/dubblerar

6×15=3×30 mer än 300 använder olika strategi, men lyckas

60 mindre än 450 ser att det är 60(kan 4×15) mindre än

Multiplicera med 5 och 25

Det kan vara befogat att vid något tillfälle göra medvetet huvudräknande elever uppmärksamma på att multiplikation med talen 5 och 25 underlättas om den andra faktorn halveras respektive halveras två gånger och det då uppkomna svaret multipliceras med 10 resp 100. Denna typ av multiplikation följer väl även andra strategier.

Knepet att ta kvadraten på tal som slutar på 5

25×25; 45×45; 65×65;

kan lätt räknas ut utan att man behöver relatera till en särskild strategi. Men, som tidigare nämnts, knep har sin begränsning, man måste komma ihåg.

Söka efter en strategi

Även vid multiplikation finns det möjligheter att träna huvudräkning, utan att eleverna behöver skriva särskilt mycket. När eleverna uppmärksammat olika tankeformer och blivit medvetna om sina egna, genom presentationen på tavlan, kan de söka typexempel i en ”strategi-ruta”.

3×31………………. 7×38………………… 5×130……………………..2x5x16

74×5……………… 16×25……………….. 9×18……………………….12×201

4x62x5…………. 32×6 ……………… 4×75 ……………… 49x5x2

8×56………………. 46×5 ……………….. 98×4 ……………… 79×5

Förslag till arbete med strategi-rutan:

* Vilka exempel följer strategin ”lite mer än”/”lite mindre än”?

* Vilka exempel är lämpliga att halvera/dubblera?

* Vilka faktorer behandlar du först i ”bra ihop – strategin” i exemplen?

* Gör nya exempel för de olika strategierna .

Lämna ett svar

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *