Att subtrahera i huvudet
Det finns fyra strategier i subtraktion vid huvudräkning. Tre av dem är parallella med additionsstrategierna, medan den fjärde är speciell för räknesättet. Många elever har tyckt att subtraktion är det svåraste räknesättet. Anledningen till det är dels de fyra olika räknehändelserna, dels att vi, numera historiskt sett, har talat om tiotalsövergångar. Tiotalsövergångar på det ”gamla” sättet finns inte i huvudräkning! Här gäller det bara att kunna sitt 5- och 10-tal samt kunna addera med mer än 1 i taget.
I subtraktion kan siffrorna i de ingående talen i utsagorna/exemplen se ut på fyra olika sätt, dvs de förhåller sig till varandra på sätt som jag kallar:
- strategin ”0-9” (ex 9-4; 46-25; 567-345; 6789-5438)
Alla beräkningar som faller inom ramen för denna strategi fordrar endast att eleverna kan räkna inom talområdet 0-9, alltså tidigt i skolan. Om eleverna dessutom behärskar positionssystemet (se kottarna i kap Sluta räkna – börja se!) kan de i huvudet utföra vilka beräkningar som helst. Att beräkna 8567-7325 är lika enkelt som 8-7 eller 5-3. För att nå hit fordras att eleverna aldrig räknat på fingrarna!
Strategin ”0-9” – teoretiskt ( 9-4; 37-22; 89-37; 874-763; 9876-6543)
Differensen mellan siffrorna i varje enskild talenhet/position i den här strategin överstiger aldrig 9. Den första termens siffror har i varje position ett högre talvärde än den andra termen. Medvetna taluppfattare uppfattar strategin redan vid genomläsningen och kan därigenom avge svaret direkt.
…….. och rent praktiskt
Så här tänkte elever i fyran:
67-35=
67-30-5 (tiotalen först)
67-5-10-10-10 (entalen först)
67-5-30 ( – ” – )
60-30+7-5 (hyfsar tiotalen )
60-40+7+5 (hyfsar tiotalen )
70-35-3 (hyfsar)
70-40-3+5 (hyfsar tiotalen )
70-30-3-5 (hyfsar tiotalen )
5+20+7 (räknar upp)
15+17 (trygg i 50, räknar upp)
35-3 (hyfsar, ser dubblan)
7+20+5 (räknar ner)
17+15 (trygg i 50, räknar ner)
32 ”ser”
Vissa av eleverna har här använt sig av samma tankeformer som i strategin ”nära tal” (se nedan) , även om det här kan tyckas onödigt omständligt. Varje elev måste dock själv avgöra om och när han vill ha kvar eller förändra sitt sätt att tänka.
Eleverna konstruerar även egna exempel för att ytterligare förstärka sina kunskaper. ”Skriv 5 exempel som får svaret 3 eller 23 etc. Eleverna söker också exempel i en ”strategiruta”. (Se nedan).
Strategin ”0-10” – teoretiskt (ex 10-6; 60-54; 140-126; 1400-1360)
Precis som för additionen handlar det här om att eleverna genast ska associera till en 10-kompis. Det får inte vara så att eleverna endast kan dem genom att räkna på fingrarna och det får inte vara en tabellkunskap. Det måste vara en solid grund som de har skaffat sig (se kap Sluta räkna – börja se!). En grund som man kan bygga vidare på. Det handlar inte om att finna ett rätt svar!
…… och rent praktiskt
Vid en första genomläsning av exemplen upptäcker tränade elever att de i beräkningen behöver använda sig av sina kunskaper om tiokompisarna. Tankeformer hos elever i fyran:
70-27=
70-7-20 (entalen först)
70-20-7 (tiotalen först)
63-20 (tiokompis direkt)
70-30+3 (hyfsar tiotalen)
67-27+3 (hyfsar)
3+40 (räknar upp)
23+20 (trygg i 50, räknar upp)
40+3 (räknar ner)
Även här använder vissa elever sig av samma tankeform som vid strategin ”nära tal” (se nedan). Observera att olika elever har olika sätt att tänka och att deras tanke duger. Det är bara eleven själv som kan ”köpa upp” sig och förfina tankeformerna och ingen gång ska jag som lärare försöka få dem att tänka på ett annat sätt. Gör jag så signalerar jag ju att deras tanke inte duger. Elever med god taluppfattning redovisar ofta olika sätt att tänka.
Eleverna konstruerar egna exempel och arbetar med ”strategi-sökning” (se nedan) för att få större säkerhet.
Strategin ”över 10” – teoretiskt (ex 11-3; 34-15; 345-265; 5674-5685)
Nu handlar det om att ha förstått inte bara 5-kompisar, 10-kompisar och positionssystemet utan också om att kunna räkna med andra multiplar är 1 i taget. Nu börjar matematiken att bli lite mer komplex och grunden måste vara stabil. Utan en grund kan man inte bygga vidare och att reparera högre upp hjälper bara för stunden. Hur många lärare är det inte som varje lektion måste reparera i stället för att bygga vidare?
Någon av siffrorna i den första/största termen har i någon av positionerna ett mindre talvärde än i den första (ex 52-27). Vid algoritmräkning skedde alltid minst en växling. Dessa växlingar var, på vårt svenska sätt, inkonsekventa eftersom de medförde att man ”plockade” in mer än 10 i en position där allt bygger på att vi bara kan ha 9! Ibland undrar jag hur generation efter generation har gått med på detta. Om subtraktionen varit ex 73-28 har vi ju växlat och satt 13 i entalspositionen!
……………….och rent praktiskt
Ingen av oss räknar någonsin ut ett liknande exempel direkt. Vi hyfsar en eller båda termerna för att få arbeta med något som vi känner oss trygga i.
Tankeformer hos åk 4-elever:
83-28=
83-20-8 (tiotalen först)
83-8-20 (entalen först)
83-8-10-10 entalen först)
83-10-10-8 tiotalen först)
83-3-25 (hyfsar till 80)
83-3-5-20 (entalen först)
83-30+2 (hyfsat tiotal bort först)
80-25 (hyfsar)
80-8-20+3 (hyfsar, entalen först)
80-20-5 (tiotalen först)
80-5-20 (entalen först)
88-28-5 (hyfsar)
2+50+3 (räknar upp)
3+50+2 (räknar ner)
22+33 (trygg i 50, räknar upp)
Det finns många olika tankeformer. Observera hur några elever håller sig till upp- eller nedräkning, beroende på att de hellre adderar än subtraherar. Konstruktion av egna exempel och ”strategi-sökning” (se nedan) ökar förmågan och säkerheten. Att konstruera liknande exempel innebär att man vet var svårigheterna dyker upp; alltså är man fullständigt förberedd på att möta dem.
Strategin ”nära tal” teoretiskt (ex 21-19; 71-68; 101-97; 702-679;)
Att se den här strategin innebär att eleverna kommer att tycka att subtraktion är det lättaste av alla räknesätt. För att göra det måste de ha förstått vårt tiobassystem dvs 10-kompisar, 100-kompisar och tallinjen. Här gäller det nämligen att mäta avståndet mellan två tal. Den här strategin använder många elever även när vi kanske skulle valt en annan, men att få addera känns för många elever tryggt.När jag arbetar med huvudräkning i subtraktion börjar jag alltid med exempel av denna typ eller av typen ”0-9”. Under den period av arbetet när eleverna görs medvetna om strategin ”nära tal” är benämningen konsekvent, dvs de två talen är väldigt nära varandra, men den används med fördel även om utsagan ser ut så här: 7013-5985. Den räknas med fördel ut som 15+1013=1028
……och rent praktiskt
Arbetet startar som vanligt med att ta reda på och anteckna olika elevers olika sätt att tänka i några exempel. Under arbetet får de, som vanligt, möjlighet att ”köpa upp” sig. När exempel av denna typ räknades i algoritm hände det alltför ofta att svaret blev fel (195 är inte ett ovanligt svar för subtraktionen 103-98= ), därför att man på den tiden vid algoritmräkning växlade ”över noll”.
Så här tänker elever i en åk 4:
103-98=
2+3 (räknar upp)
3+2 (räknar ner)
103-100+2 (hyfsar 98 till 100)
103-3-95 (hyfsar 103 till 100)
- (hyfsar för lätt sutraktion)
Elever med de senare tankeformerna ”köper” förvånande snabbt upp sig, eftersom upp- och nerräknarnas tankeformer gör subtraktionen till en addition. I förlängningen kommer väldigt många elever att använda samma tankeform även i exempel av typen: 423-288. Detta beror på att elever som medvetet läser termerna ”på rätt håll” har redan efter genomläsningen insett att båda termerna ”ligger nära” ett hundratal. Uträkningen blir då antingen 12+123 (12+100+23) eller 23+100+12.
På samma sätt som vid addition stärks elevernas förmåga att se strategin, utveckla sina tankeformer och få säkerhet i räknandet genom att de själv konstruerar exempel av samma typ.
Ytterligare förstärkning får eleverna när de sedan söker typexempel i en ”strategiruta”. (Se nedan).
Strategissökning
När eleverna uppmärksammats på sina tankeformer i varje enskild strategi och konstruerat egna exempel kan ” strategisökning” ersätta mycket av den träning som trots att beräkningarna görs som huvudräkning brukar vara nödvändig att besvara skriftligt.
67-45 ………………….103-4 ……………….63-28 …………………..876-345
603-589 ……………..34-15 ……………..567-300 ………………..400-170
593-360 ……………..60-27 ………………..82-76 …………………….200-75
92-57 ………………..100-68 ………………..840-760 …………………93-38
Förslag till användning:
- Lägg en markör över alla rutor där du räknar addition
- I vilka exempel behöver du inte hyfsa
- I vilka exempel räknar du med tiokompisar någon gång
- Skriv svaret till de exempel som du ser svaret på direkt
- Skriv svaret på de exempel där du ser svaret direkt
- Skriv exempel av typen 102-99 men där svaret är 6