Additionsstrategin ”0 – 9” – teoretiskt
Titta noga på talen i termerna:
3+5; 36+23; 130+ 57; 182+17; 324+573;
Summan av talen i de olika positionerna överstiger inte 9.
………. och rent praktiskt!
Ge eleverna nedanstående exempel och låt dem på egen hand reflektera över hur de tänker när de räknar följande addition i huvudet (exemplet skrivs på tavlan):
52+34
Eleverna talar sedan om hur de tänker. Läraren antecknar deras olika tankeformer under det givna exemplet på tavlan. I början är det svårt att få alla elever att verbalisera sina tankeformer. Kanske de inte är medvetna om sitt eget tänkande? (se kap Sluta räkna)
Elever som varit vana vid algoritmräkning ”ställer” ofta ”upp i huvudet”. Anteckna även deras tankar, jämför och diskutera sedan även dessa.
Genom att eleverna får se att det finns många framkomliga sätt att tänka i samma exempel, får de flera möjligheter att ”köpa upp sig” på tankeformer.
Så här tänkte elever i en åk 4. De har under en termin tränats i att tala om sina tankeformer. I början gick det trögt, sen blev det närmast en sport att hitta på nya sätt att tänka. Eleverna tränas hela tiden i att reflektera över sitt eget tänkande och inte någon gång talar jag om hur de ska tänka. Observera skillnaden mellan elever som väljer att räkna med tal och elever som manipulerar med siffror. Notera för dig själv om en elev räknar på fingrarna eller om de räknar med 10 i taget. Detta kan vara en upplysning för dig om att eleverna ännu inte behärska talområdet 0-5 ”på riktigt”.
52+34=
läraren antecknar: elevförklaring:
50+30+2+4 (tiotalen först)
52+1+1+1+1+10+10+10 (Fingerräknare! – Se upp)
52+30+4 (det stora först)
52+4+30 (det lilla först)
34+50+2 (lättare lägga till 50)
34+2+50 ( – ” – )
2+4=6; 5+3=8 (”ställer upp” och ”misslyckas”)
86 (Ser svaret)
Läraren får under arbetet med tankeformerna absolut inte värdera någon tankeform högre än en annan. Elevernas tankar är deras privata egendom som de här delar med sig av. De är alla bra, de duger, men om och när eleven själv upplever att det är bättre att tänka på ett annat sätt, gör han en ”uppköpning” på eget initiativ. För att ”snabba på” detta kan man ibland låta eleverna i grupp berätta för varandra hur de tänker. Jag arbetar alltid med en strategi i taget. Som du säkert förstår är det sista exemplet det som lockar mest – att se! För elever som arbetat med kottar är det här naturligt (se kap Sluta räkna).
Eleverna måste ges möjligheter att tala om sina tankeformer vid många tillfällen, både för dig och för kamrater. När de blivit uppmärksammade på sina egna och eventuellt på andras sätt att tänka, fortsätter den medvetna huvudräkningsträningen med ”strategisökning”. (Se nedan). För allt lärande är medvetenheten om det egna tänkandet (se kap Sluta Räkna) en förutsättning och det går absolut inte till så att någon talar om hur man ska tänka! Ett fel som lärare genom tiderna trott sig behöva göra.
Eleverna uppmärksammas också på strategierna genom att på egen hand skriva additionsexempel av denna typ. ”Skriv 5 exempel som är sådana att du kan se svaret direkt”. När eleverna upptäckt och uppfattat att siffrorna i talen i exemplen ibland ser ut på ett visst sätt skriver ”försteklassarna” gärna exempel av typen: 234567+654412=888978. Behöver dessa barn någonsin mera träna sådana exempel? Det är förvånande att det i läromedel finns sådana exempel i läroböcker för år 9! Jag har låtit elever i skolår 1 titta på en sida i en år 9-lärobok och låtit dem leta efter något exempel som de kan räkna ut. Och det är flera de kan!
För att det arbetet ska bli kvalitativt bör några av exemplen också förses med räknehändelser eller starta i en situation.
Additionsstrategin ”0 – 10” – teoretiskt
Gemensamt för följande exempel är att talen i någon av positionerna är ”tiokompisar”.
8+2; 80+20; 800+200; 28+2; 28+32; 280+20;
………… och praktiskt
Eleverna uppmärksammas på sina och andras tankeformer på samma sätt som tidigare beskrivits. Så här tänkte eleverna i en fjärdeklass:
36+24=
6+4+30+40 (tiokompisarna först)
36+1+1+1+1+10+10 (Fingerräknare – se upp!)
30+20+6+4 (tiotalen först)
36+20+4 (det stora först)
36+4+20 (det lilla först)
40+20 (ser tiokompis direkt)
30+30 ( – ” – )
35+25 (hyfsar till bättre tiokompisar)
50+10 (trygg i 50, fyller lätt upp med 14)
Genom många tankeformsinventeringar blir eleverna medvetna om, i första hand, sina egna tankeformer och får möjligheter att ”köpa upp” sig. Eleverna söker sedan strategi för att ytterligare befästa sina kunskaper. (Se nedan).
För att bli säkrare i igenkännandet av strategierna skriver eleverna också egna exempel där de väljer termer på egen hand. ”Skriv 5 exempel där du måste se tiokompisarna på samma sätt”.
Additionsstrategin ”över 10” – teoretiskt
Summan av talen i en av positionerna är ”över 10”:
9+3; 19+3; 49+27; 490+360; 4800+3700
…………. och praktiskt
Eleverna startar i ett typexempel och reflekterar över sitt sätt att tänka och förklarar sina tankeformer, som antecknas, så att andra kan ta del av dem och eventuellt ”köpa upp” sig. När siffrorna i talen ser ut på det här sättet räknar varken du eller jag ut det direkt; vi måste hyfsa talen och hur vi gör det beror helt och hållet på vår egen taluppfattning, vår känsla för tal. Hyfsa betyder att var och en omstrukurerar ett eller båda talen så att de blir lite ”snällare”. Hyfsning kan också betyda att talen ”görs om” så att de passar för tankeformerna i en lättare strategi. Hyfsningen är högst personlig. En del elever håller allt i huvudet, en del skriver ”mellanmål”.Att göra beräkningar i den här strategin fordrar att eleverna behärska ”allt om 5” (se kap Sluta räkna), tiokompisarna, positionssystemet och att de kan räkna med andra multiplar än 1, dvs det som är ”allt om 5”. Rätt svar kan de naturligtvis få även som fingerräknare men det är inte rätt svar vi är ute efter när vi ska utveckla elevers matematikkunskaper. Barn kommer inte till skolan för att få rätt svar; de kommer dit för att lära sig.
I en tränad fjärdeklass tänkte eleverna på följande sätt. Jag skriver, på tavlan, alltid deras tankar på nedanstående sätt.
39+37=
30+30+9+7 (tiotalen först)
39+30+7 (det stora först)
39+7+30 (det lilla först)
39+1+30+6 (hyfsar till tiotal)
39+1+6+30 (entalen först)
39+1+36 (hyfsar till tiotal )
37+37+2 (ser dubblor, adderar sen )
39+39-2 (ser dubblor, subtraherar sen)
39+11+26 (trygg i 50)
40+30+6 (hyfsar till tiotal direkt)
40+36 ( – ” – )
40+40-1-3 ( – ” – )
40+40-4 ( – ” – )
40+37-1 (räknar med ett lättare tal först)
Låt nu eleverna skriva 5 exempel som de inte ska räkna ut direkt! Genom att vara medvetna om hur siffror i ett tal ser ut när en viss ”svårighet” uppstår har de egentligen en ganska bra utgångspunkt för vidare beräkningar och har utvecklat sin känsla för tal.
När eleverna konstruerar typexempel upplever många att de ”slipper” räkna (!), men egentligen är det precis vad de gör. Under tiden blir strategin än tydligare och de tankeformer man inte var mogen att ”köpa” från början, blir i många fall ”uppköpta” senare.
Strategissökning
När eleverna blivit trygga i sina tankeformer, kan huvudräkningsförmågan ökas ytterligare utan egentligt räknande, i elevernas ögon.
Ett antal varierande typexempel, presenteras i en ” strategi-ruta” som eleverna får. Termernas storlek väljs utifrån elevernas mognad.
Efter tankeutbytet kring strategierna ”0-9”, ”0-10” respektive ”över 10” söker eleverna exempel på de olika strategierna. Observera att vi arbetar med en strategi i taget men använder samma strategiruta.
42+35 40+60 57+16 63+38
180+20 ……….461+222 …………1700+300………….. 150+50
19+28 ……………68+31 …………….56+74…………….. 324+743
73+19…………….783+212…………… 56+45 ………………..34+65
Arbetet med ” strategirutan” kan varieras och används för varje enskild strategi.
Här följer några förslag på aktiviteter:
- Lägg en markör över de exempel som du kan se svaret på
- Skriv 5 exempel som du kan se svaret på.
- I vilka exempel kan du tänka på samma sätt som i 13+62
- Vilka exempel är av samma typ som 28+39
- Skriv exempel som du behöver hyfsa.
- Skriv exempel av typen ”0-10”.
- Vilka exempel har ett svar som är mer än ……../mindre än ……?
- Skriv exempel som får svaret 80
- Skriv exempel som får svaret 99
- På hur många olika sätt kan du få svaret 39
Alla elever finner inte alltid alla aktuella typexempel. Huvudsaken är att var och en känner igen och finner något. Ett sätt kan vara att en grupp elever tillsammans söker. När de talar med varandra utvecklas begreppen för det är i språket som begrepp utvecklas. Under en tyst lektion med massor av räkning sker sällan något lärande. Eleverna tycker ofta att de ”slipper” att räkna, men det är just vad de gör samtidigt som de utvecklar sin känsla för tal. Med all rätt för matematik handlar mycket mer om att SE än om att räkna. Det är viktigt – och ökar taluppfattningen om eleverna alltid första tittar på talen i en operation och därefter tittar på de ingående siffrorna, dvs de olika talenheterna. Det viktigast är att eleverna:
* SER siffrorna i talen och associerar till andra tal
* uppfattar talen, deras samband, likheter och skillnader
* upptäcker hur de varierande tankeformerna kan användas
Trots att eleverna upplever att de ”slipper” räkna, gör de det ändå, mycket målmedvetet och varierat. För många elever är det skrivandet som är det tråkigaste i räknandet/matematiken. När eleverna arbetar med sina ”mellanmål”, dvs när de använder sig av huvudräkning men när huvudet inte räcker till gäller det för oss lärare och elever att hitta ett eget sätt att skriva så att skrivandet inte blir det viktigaste. I arbetet med att ta reda på hur eleverna tänker, när du antecknar deras tankar på tavlan får eleverna många idéer och exempel på hur de kan skriva.